设一在在 2D 空间中的三角形 △ABC ，三个顶点向量 A(ax, ay)、B(bx, by)、C(cx, cy)，三条有向边 AB、BC、CA，有一点 P(px, py)。

1. 叉乘法

原理：

沿 △ABC 各有向边按一定方向走（顺时针或逆时针），判断点 P 是否在该边的某侧（右侧或左侧），若点 P 在三条边的同侧，则点 P 在 △ABC 内。

实现：

分别计算向量 AB、BC、CA 与向量 AP、BP、CP 的向量积（叉乘），若三个结果均同号（正或负，为零表示 P 在边上），则可得点 P 在 △ABC 内。其中AB = B - A，AB×AP = AB.x*AP.y - AB.y*AP.x。

该算法只需要做 3 次叉乘（6 次普通数值乘法），效率高，且没有浮点误差。
这是我当时面试想的算法，Azure 等人也用的类似算法。

2. 面积法

原理：

若点 P 在 △ABC 内，则 △ABP、△BCP、△CAP 的面积之和应等于 △ABC 的面积。

实现：

利用两个向量叉积的几何意义为该两个向量所围三角形面积的 2 倍，分别计算 AB×BP、BC×CP、CA×AP、AB×BC，若 |AB×BP| + |BC×CP| + |CA×AP| = |AB×BC|，则得点 P 在 △ABC 内。

这个算法用得比较普遍，需要做 4 次叉乘（8 次普通数值乘法），效率和叉乘法差不多，同时避免了用海伦公式计算面积的低效和精度问题（数值除法和开方运算）。

我昨天想的一个算法有点类似这篇文章中的方法 3，比它简单一点，但同样需要对向量做归一化处理，效率不高，故放弃了。另外的算法还包括划线交点法、解方程组法、复数法等，但计算量都较大，不再赘述。

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